線性代數是數一、數二、數三都考的科目,所以在考研數學中,線代是不容忽視的。

以下是線代六大考點及常考題型:
一、行列式

行列式在整張試卷中所占比例不是很大,一般以填空題、選擇題為主,它是必考內容,不只是考察行列式的概念、性質、運算,與行列式有關的考題也不少。

例如方陣的行列式、逆矩陣、向量組的線性相關性、矩陣的秩、線性方程組、特征值、正定二次型與正定矩陣等問題中都會涉及到行列式。

如果試卷中沒有獨立的行列式的試題,必然會在其他章、節的試題中得以體現。所以要熟練掌握行列式常用的計算方法。

1、重點內容:行列式計算

(1)降階法
這是計算行列式的主要方法,即用展開定理將行列式降階。但在展開之前往往先用行列式的性質對行列式進行恒等變形,化簡之后再展開。

(2)特殊的行列式
有三角行列式、范德蒙行列式、行和或列和相等的行列式、三線型行列式、爪型行列式等等,必須熟練掌握相應的計算方法。

2、常見題型:
(1)數字型行列式的計算
(2)抽象行列式的計算
(3)含參數的行列式的計算
(4)代數余子式的線性組合

二、向量
向量部分既是重點又是難點,由于n維向量的抽象性及在邏輯推理上的較高要求,導致考生在學習理解上的困難。考生至少要梳理清楚知識點之間的關系,最好能獨立證明相關結論。

1、重點內容:
(1)向量的線性表示:線性表示經常和方程組結合考察,特點,表面問一個向量可否由一組向量線性表示,其實本質需要轉換成方程組的內容來解決,經常結合出大題。
(2)向量組的線性相關性:向量組的線性相關性是線性代數的重點,也是考研的重點。同學們一定要吃透向量組線性相關性的概念,熟練掌握有關性質及判定法并能靈活應用,還應與線性表出、向量組的秩及線性方程組等相聯系,從各個側面加強對線性相關性的理解。
(3)向量組等價,要注意向量組等價與矩陣等價的區別。
(4)向量組的極大線性無關組和向量組的秩
(5)向量空間(數一)

2、常見題型:

(1)判定向量組的線性相關性
(2)向量組線性相關性的證明
(3)判定一個向量能否由一向量組線性表出
(4)向量組的秩和極大無關組的求法
(5)有關秩的證明
(6)有關矩陣與向量組等價的命題
(7)與向量空間有關的命題。

三、線性方程組

往年考題中,方程組出現的頻率較高,幾乎每年都有考題,也是線性代數部分考查的重點內容。

但也不會簡單到僅考方程組的計算,還需靈活運用,比如2014年的線性代數第一道解答題,解矩陣方程,而且系數矩陣是不可逆的,這是考研以來第一次這樣考,最后歸結為求三個非齊次線性方程組通解。

1、重點內容:

(1)齊次線性方程組有非零解和非齊次線性方程組有解的判定及解的結構
(2)齊次線性方程組基礎解系的求解與證明
(3)齊次(非齊次)線性方程組的求解(含對參數取值的討論)。

2、常見題型:

(1)線性方程組的求解
(2)方程組解向量的判別及解的性質
(3)齊次線性方程組的基礎解系
(4)非齊次線性方程組的通解結構
(5)兩個方程組的公共解、同解問題

四、特征值與特征向量

特征值、特征向量是線性代數的重點內容,是考研的重點之一,題多分值大。

1、重點內容:

(1)特征值和特征向量的概念及計算
(2)方陣的相似對角化
(3)實對稱矩陣的正交相似對角化

2、常見題型:

(1)數值矩陣的特征值和特征向量的求法
(2)抽象矩陣特征值和特征向量的求法
(3)矩陣相似的判定及逆問題(2014出大題)
(4)矩陣的相似對角化及逆問題
(5)由特征值或特征向量反求A
(6)有關實對稱矩陣的問題


五、二次型

由于二次型與它的實對稱矩陣式一一對應的,所以二次型的很多問題都可以轉化為它的實對稱矩陣的問題,可見正確寫出二次型的矩陣式處理二次型問題的一個基礎。

1、重點內容:

(1)掌握二次型及其矩陣表示,了解二次型的秩和標準形等概念;
(2)了解二次型的規范形和慣性定理;
(3)掌握用正交變換并會用配方法化二次型為標準形;
(4)理解正定二次型和正定矩陣的概念及其判別方法。

2、常見題型:

(1)二次型表成矩陣形式
(2)化二次型為標準形
(3)二次型正定性的判別


六、矩陣

矩陣是線性代數的核心,是后續各章的基礎。矩陣的概念、運算及理論貫穿線性代數的始終。這部分考點較多。涉及伴隨矩陣的定義、性質、行列式、逆矩陣、秩及包含伴隨矩陣的矩陣方程是矩陣試題中的一類常見試題。

有些性質得證明必須能自己推導。這幾年還經常出現有關初等變換與初等矩陣的命題。

1、重點內容:

(1)矩陣的運算
(2)伴隨矩陣
(3)可逆矩陣
(4)初等變換和初等矩陣
(5)矩陣的秩

2、常見題型:

(1)計算方陣的冪
(2)與伴隨矩陣相關聯的命題
(3)有關初等變換的命題
(4)有關逆矩陣的計算與證明
(5)解矩陣方程(2013年和2014年連續出大題,要重視)
(6)矩陣秩的計算和證明

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